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亚里士多德的三段论-第章

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    我用1,表示这个规则_的头一条,用2表示第二条。

    _从以上全称量词的原始规则,得到两条导出规则:第一,(从规则2及简化定律)

    一个真表达式,在约束出现于其中的_自由变项时,允许把全称量词置于它的前面;第二,(从规则1及命题的同一律)

    ,允许消掉位于真表达式之前的全称X

…… 136

    421第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

    量词。

    这些规则怎样可以导出,我将用Ⅰ前提的换位律为例来加以说明。

    从换位律:(9)CIabIba就得到量化了的表达式(26)abCIabIba‘而从量化了的表达式(26)又得到非量化的换位律(9)。

    首先,从(9)到(26)

    T10。

    CpCqp(简化定律)

    T10。

    pCIabIba×C(9)—(23)

    '(23)CqCIabIba应用规则2于这个断定命题以约束b并随后约束a,因为b_与a都不在前件中出现:(23)2b×(24)

    ‘(24)CqbCIabIba‘(24)2a×(25)

    ‘(25)CqabCIabIba‘(25)qCpCq×CT10-(26)

    '(26)abCIabIba‘其次:从(26)到(9)。

    T5Cpp(同一律)

    T5。

    pCIabIba×(27)

    '(27)CCIabIbaCIabIba我们应用规则1于这个断定命题以约束b并随后约束a:_(27)1b×(28)

    ‘

…… 137

    25。三段论系统的基本要素A                                                           521

    (28)CbCIabIbaCIabIba‘(28)1a×(29)

    ‘(29)CabCIabIbaCIabIba‘(29)×C(26)—(9)

    (9)CIabIba亚里士多德断定:“如果有些a是b,那么,有些b应是a就是必然的”

    ,依我看,“就是必然的”这表达词只能有这个意思:要找到变项a和b的那样的值,它会确证前件而不能确证后件,那是不可能的。

    换句话说,那就是指“对于所有a与所有b而言,如果有些a是b,则有些b是a。”这就是我们的量化的断定命题(26)。

    这个断定命题与非量化的换位律“如果有些a是b,则有些b是a”

    (它不包含必然性的记号)

    是等值的,这是已经证明了的。

    由于三段论的必然性是与全称量词等价的,所以它可以被省略,因为一个全称量词在真公式之前是可以省略的。

    25。三段论系统的基本要素A每一个公理化的演绎系统都以三项基本要素为基础:原始词项,公理,和推论规则。

    我从对断定的表达式而言的基本要素开始,对排斥的表达式而言的基本要素将于以后给出。

    我取常项A和I为原始词项,用它们来定义其它两个常项E和O:

    Df1

    Eab=NIab

    f2

    Oab=NAab。

    为了把证明缩短我将使用下面的两条推论规则来代替上述定

…… 138

    621第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

    义:规则RE:NI在任何地方均可用E去替换,反之亦然。

    规则RO:NA在任何地方均可用O去替换,反之亦然。

    当作公理来断定的这个系统的四条断定命题就是两条同一律和Barbara式及Datisi式:1。

    Aa2。

    Ia3。

    CKAbcAabAac(Barbara)

    4。

    CKAbcIbaIac(Datisi)。

    除了规则RE与RO之外,我采用以下两条对于断定的表达式的推论规则:(a)代入规则:如果a是这一系统的一个断定的表达式,那么,用正确的代入从α得出的任何表达式也是一个断定的表达式。

    唯一正确的代入是对词项变项a,b,c,代以其它的词项变项,如以b代a。

    (b)分离规则:如果Cαβ与α都是这系统的断定的表达式,那么β也是断定的表达式。

    我采取带有被定义的函子K的演绎理论的C—N系统,作为辅助理论。

    命题变项可以代之以三段论的命题表达式,如Aab,Iac,KEbcAab,等等。

    在所有以后的证明中(并且也对排斥的表达式)我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题:Ⅰ。

    CpCqp(简化定律)

    Ⅱ。

    CqrCpqCpr(假言三段论定律、第二个形式)

    Ⅲ。

    CpCqrCqCpr(分配律)

…… 139

    25。三段论系统的基本要素A                                                                  721

    Ⅳ。

    CpCNpq(邓斯司各脱定律)

    WⅤ。

    CNpp(克拉维乌斯定律)

    Ⅵ。

    CpqCNqNp(易位律)

    Ⅶ。

    CKpqrCpCqr(输出律)。电子书

    Ⅷ。

    CpCKpqrCqrⅨ。

    CspCKpqrCKsqrⅩ。

    CKpqrCsqCKpsrⅪ。

    CrsCKpqrCKqpsXI。

    CKpqrCKpNrNqXI。

    CKpqrCKNrqNpXIV。

    CKpNqNrCKprq断定命题Ⅷ是输出律的一个形式,断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律,而Ⅻ—是复杂的易位律。

    所有这些,用第23节所说的0—1方法,都是易于验证的。

    断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部C—N系统,但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。

    公理1—4的系统是一致的,也就是说是无矛盾的。

    无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项,以及把函项A和I定义为常真(即令Aab=Iab=KCaCb)

    而作出的。

    于是公理1—4作为演绎理论的断定命题都是真的,而且已知这演绎理论是无矛盾的,所以三段论系统也是无矛盾的。

    我们系统的所有公理都是彼此独立的。

    这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。

    在后面的解释中,词项变项作为命题变项处理。

    公理1的独立性:取K代替A,取C代替I,公理1就不

…… 140

    821第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

    能确证了,因为Aa=Ka,而Kaa在a0时,得出0。

    如同用'0—1方法所能看出的那样,其它公理均可确证。

    公理2的独立性:取C代替A,与K代替I,公理2就不能确证了,因为Ia=Ka。

    其它公理均可确证。

    公理4的独立性:取C代替A与I,公理4就不能确证了,因为CKAbcIbaIac=CKCbcCbaCac在b0,a1,c0时,它'        '        '得出0其它均可确证。

    公理3的独立性:在只有0与1二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。

    我们必须引入第三个真值,令其为2,它可看作是代表真,亦即1的另一个符号。

    对于第23节所作出的C,N和K的诸等值式,我们还要加上下面这些公式:C02=C12=C21=C2=1。

    C20=0,N2=0,K02=K20=0,K12=K21=K2=1。

    在这些条件下,所有C—N系统的断定命题都可确证,这能很容易地表明。

    让我们现在把Iab定义为常真的函项,亦即对于a与b的所有的值而言,Iab=1,而把Aab定义为具有以下诸值的函项:Aa=1,A01=A12=1,以及A02=0(其余均无关)。

    公理1,2与4都可确证,但从公理3用代入b1,c2,a0我们得'到:CKA12A01A02=CK10=C10=0。

    用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。

    例如,我们要证明公理3独立于其余公理,我们能够把Aab定义为a+1b,而把Iab定义为a+b=b+a,Iab是常真的,因而,

…… 141

    26。三段论的断定命题的推导A                                                                                           921

    公理2与4确证了,公理1也确证了,因为a+1总是不同于a的。

    但公理3,即“如果b+1c并且a+1b,则a+1C”

    a就不能确证。

    取3替a,2替b,以及4替c,则前提将会是真的,而结论是假的。

    从以上的独立性证明得出:没有三段论的单个的公理或“原则”。

    1—4这四条公理可以机械地用“并且”

    这个字联结成为一个命题,但是它们在这个没有有机联系的合取式中,仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。

    26。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理1—4我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。

    我希望在作了前面几节的解释之后,以后的证明就会是完全可以理解的。

    在所有三段论的式中,大项用c表示,中项用b表示,小项用a表示。

    大前提首先陈述,以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。

    A。换位定律Ⅶ。

    pAbc,qIba,rIac×C4—5'                   '                   '5。

    CAbcCIbaIac5。

    ba,ca,ab×C1—6'①在1929年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》(Elements

    of

    mathe-maticalogic)

    (见第62页,注①)中,我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理1—4形式地推出(第180—190页)。

    在上述教科书中说明的方法,由I。

    M。

    波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”

    中稍作修改后加以采纳。

    见《多明尼卡研究》(Dominican

    studies)卷i,牛津1948年版。

…… 142

    031第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

    6。

    CIabIba(I前提的换位律)

    Ⅲ。

    pAbc,qIba,rIac×C57' C7。

    CIbaCAbcIac7。

    ba,cb×C2—8'8。

    CAabIab(肯定前提的从属律)

    Ⅱ。

    qIab,rIba×C6—9'    
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